TRPO算法的全称是 Trust Region Policy Optimization，即信赖域策略优化。

角度一：off-policy

通常在强化学习策略梯度训练中，智能体每跟环境做一次完整的交互得到一条蒙特卡洛采样轨迹，策略网络的参数做一次更新，也就是on-policy方法，其优点是误差较小，但学习效率低，每个样本只能学习一次。为了提高样本学习效率，此时使用参数为 ${\theta }^{\prime }$ 的旧网络做采样收集样本来跟新当前网络的参数 $\theta$，即off-policy方法。但旧网络收集的样本能直接用于更新当前网络的参数吗？

重要性采样 Importance Sampling

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]& =\int f(x)p(x)dx\\ & =\int f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx\\ & ={\mathbb{E}}_{x\sim q(x)}\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]\end{array}$$
可以看出，有办法通过从$q(x)$中采样来计算从$p(x)$中采样的关于$f(x)$的期望，尽管二者期望相同，但方差略有不同。
$$Va{r}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]={\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f^2(x)\right]-{\left[{\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]\right]}^2$$
$$\begin{array}{rl}Va{r}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]& ={\mathbb{E}}_{x\sim q(x)}{\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]}^2-{\left[{\mathbb{E}}_{x\sim q(x)}\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]\right]}^2\\ & =\int f^2(x)\frac{p^2(x)}{q^2(x)}q(x)dx-{\left[{\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]\right]}^2\\ & ={\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f^2(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]-{\left[{\mathbb{E}}_{x\sim p(x)}\left[f(x)\right]\right]}^2\end{array}$$
可以看出，二者方差只有在第一项中相差 $\frac{p(x)}{q(x)}$ 倍，因此$p(x)$和$q(x)$的分布不能相差很大。我们再回头看策略梯度方法的优化函数$J(\theta )$

记一条轨迹序列：
τ = { s 1 , a 1 , s 2 , a 2 , . . . s T , a T } \tau = \{s_1,a_1,s_2,a_2,...s_T,a_T\} τ={s1​,a1​,s2​,a2​,...sT​,aT​}
其在参数$\theta$下的概率和回报Return为：
$$\begin{array}{rl}{\pi }_{\theta }(\tau )& =\pi (s_1)\prod _{t=1}^T{\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)\pi (s_{t+1}\mid s_t,a_t)\\ R(\tau )& =\sum _{t=1}^T{r}_t\end{array}$$
注意，${\pi }_{\theta }(\tau )$中只有一项与参数$\theta$有关。我们要做的事是做大化期望回报，使用梯度上升法需要求导数，即：
$$\begin{array}{rl}{\theta }^{\ast }& =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}J(\theta )\\ & =\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}\sum _{\tau }R(\tau ){\pi }_{\theta }(\tau )\\ \nabla J(\theta )& =\sum _{\tau }R(\tau ){\pi }_{\theta }(\tau )\\ & =\sum _{\tau }\left[R(\tau ){\pi }_{\theta }(\tau )\frac{\nabla {\pi }_{\theta }(\tau )}{{\pi }_{\theta }(\tau )}\right]\\ & =\sum _{\tau }\left[R(\tau ){\pi }_{\theta }(\tau )\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(\tau \right)\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{\tau \sim {\pi }_{\theta }(\tau )}\left[R(\tau )\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(\tau \right)\right]\end{array}$$

梯度优化

假设我们有不同参数的策略网络${\pi }_{{\theta }^{\prime }}$来采样数据，并更新策略网络${\pi }_{\theta }$的参数，使用蒙特卡洛近似采用，根据重要性采样公式，有：
$$\begin{array}{rl}\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(\tau \right)& =\nabla \log \left[\pi (s_1)\prod _{t=1}^T{\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)\pi (s_{t+1}\mid s_t,a_t)\right]\\ & =\nabla \left[\log \pi (s_1)+\sum _{t=1}^T\log {\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)+\sum _{t=1}^T\pi (s_{t+1}\mid s_t,a_t)\right]\\ & =\sum _{t=1}^T\nabla \log {\pi }_{\theta }(a_t\mid s_t)\\ \nabla J_{{\theta }^{\prime }}(\theta )& ={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{{\pi }_{\theta }(s_t,a_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(a_t|s_t\right)\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t){\pi }_{\theta }(s_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t){\pi }_{{\theta }^{\prime }}(s_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(a_t,s_t)\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(a_t|s_t\right)\right]\\ & \approx {\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\nabla \log {\pi }_{\theta }\left(a_t|s_t\right)\right]\\ & ={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{\nabla {\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]\end{array}$$
其中$R^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)={\sum }_{i=t}^T{\gamma }^{i-t}{r}_{s_i,a_i\sim {\pi }_{\theta }}$，此时优化函数变为：
$$\begin{array}{rl}J(\theta )& ={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]\end{array}$$
注意重要性采样使用的条件是两个分布的差异不能太大，因此TRPO算法通过添加约束使得${\pi }_{\theta }$接近${\pi }_{{\theta }^{\prime }}$。即：
$$\begin{array}{rl}& J(\theta )={\mathbb{E}}_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{{\pi }_{\theta }(a_t|s_t)}{{\pi }_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{R}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]\\ & s.t.KL({\pi }_{\theta }|{\pi }_{{\theta }^{\prime }})<\delta \end{array}$$
意思是设置一个信赖域，使得网络参数的更新不要超出这个范围。相应的PPO算法则是添加一个类似正则项的东西，即：
$$J_{ppo}(\theta )=J(\theta )-\beta KL({\pi }_{\theta }|{\pi }_{{\theta }^{\prime }})$$

角度二：数值优化

策略梯度收敛快但不稳定，且对超参数敏感，但TRPO收敛稳定且对超参数不那么敏感。假设目标是最大化$J(\theta )$，可以使用梯度上升的方式求解，但有些情况下无法得到梯度，例如当目标函数为
$$J(\theta )={\mathbb{E}}_S\left[V(S;\theta )\right]$$
需要通过定积分才能求出期望，从而求出梯度，但定积分不一定存在解析解，因此一般采用随机梯度上升的方式求解。随机梯度上升从S中采样一个样本s，计算其梯度 $g=\frac{\partial V(s;\theta )}{\partial \theta }$，然后更新梯度。

置信域优化

定义
N ( θ ′ ) = { θ ′ ∣ ∥ θ ′ − θ ∥ ≤ δ } \mathcal{N} (\theta' ) = \left \{ \theta' \mid \left \| \theta' - \theta \right \| \le \delta \right \} N(θ′)={θ′∣∥θ′−θ∥≤δ}
为参数 $\theta$ 的一个领域，我们定义已知的可微分近似函数$L({\theta }^{\prime }|\theta )$，使得在这个领域内，$L({\theta }^{\prime }|\theta )$与$J({\theta }^{\prime })$足够接近，于是在置信域内最大化$J({\theta }^{\prime })$问题转换为最大化$L({\theta }^{\prime }|\theta )$。通常置信域优化分为两个关键步：

• 置信域内近似：$L(\theta |{\theta }_{old})\approx J(\theta )$
• 置信域内最大化近似函数：${\theta }_{new}=\underset{\theta \in \mathcal{N}(\theta )}{\mathrm{argmax}}L(\theta |{\theta }_{old})$

第一步近似可以使用蒙特卡洛近似或者泰勒展开等近似方法，第二部是一个带约束优化问题，求解起来比较复杂。因此置信域算法通过不断重复两个步骤（第二笔求解最优化问题是也需要重复多次），便可以得到$J(\theta )$的局部最优解。

在强化学习中，有
$$\begin{array}{rl}{V}_{\pi }(s)& ={\mathbb{E}}_{A\sim \pi (\cdot |s;\theta )}\left[Q_{\pi }(s,A)\right]\\ & =\sum _a\pi (a|s;\theta )Q_{\pi }(s,a)\\ & =\sum _a\pi (a|s;{\theta }_{old})\frac{\pi (a|s;\theta )}{\pi (a|s;{\theta }_{old})}{Q}_{\pi }(s,a)\\ & ={\mathbb{E}}_{A\sim \pi (\cdot |s;{\theta }_{old})}\left[\frac{\pi (a|s;\theta )}{\pi (a|s;{\theta }_{old})}{Q}_{\pi }(s,a)\right]\\ J(\theta )& ={\mathbb{E}}_s[V_{\pi }(s)]\\ & ={\mathbb{E}}_s\left[{\mathbb{E}}_{A\sim \pi (\cdot |s;{\theta }_{old})}\left[\frac{\pi (a|s;\theta )}{\pi (a|s;{\theta }_{old})}{Q}_{\pi }(s,a)\right]\right]\end{array}$$

蒙特卡洛近似

我们对目标函数$J(\theta )$做蒙特卡洛近似，假设采样得到一条轨迹
τ = { s 1 , a 1 , s 2 , a 2 , . . . s T , a T } \tau = \{s_1,a_1,s_2,a_2,...s_T,a_T\} τ={s1​,a1​,s2​,a2​,...sT​,aT​}
则有近似函数
$$L(\theta |{\theta }_{old})=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left(\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})}{Q}_{\pi }(s_i,a_i)\right)$$
由于$Q_{\pi }(s_i,a_i)$无法计算，因此我们使用折扣回报作为动作价值函数的近似，即
$$\begin{array}{rl}{R}_i& =\sum _{i=t}^T{\gamma }^{i-t}{r}_i\\ L(\theta |{\theta }_{old})& \approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\left(\frac{\pi (a_i|s_i;\theta )}{\pi (a_i|s_i;{\theta }_{old})}{R}_i\right)\end{array}$$
此时做梯度上升
$$\begin{array}{rl}& {\theta }_{new}=\underset{\theta }{\mathrm{argmax}}L(\theta |{\theta }_{old})\\ & s.t.\theta \in \mathcal{N}(\theta )\end{array}$$
其中$\mathcal{N}(\theta )$可以为：
$$\begin{array}{rl}& KL({\pi }_{\theta }|{\pi }_{{\theta }_{old}})\le \delta \\ 或者& \Vert \theta -{\theta }_{old}\Vert \le \delta \end{array}$$