一句话区分on-policy and off-policy： 看behaviour policy和current policy是不是同一个就OK了！

我这篇文章主要想借着理解on-policy和off-policy的过程来加深对其他RL算法的认识。因为万事万物总是相互联系的，所以在自己探究，琢磨为什么有些算法是on-policy或者off-policy的过程中，对于它们的本质也有了更深的认识。

首先从DDPG说起，今天把DDPG这篇文章看完了，不得不感叹DeepMind不仅学术厉害，文章也写得好啊。读完DDPG，感觉就很容易理解，结论的得出也顺理成章。文章中虽然说，DDPG是基于DPG的，但是行文中也没有看到DPG推理过程的影子，而是另辟蹊径地从一个简单的fitted action-value function出发，轻松地推出了DPG，看完这个推理觉得没毛病。而且联想到为什么Sergey Levine在CS294中讲Advanced Q-learning algorithms的时候提到了DDPG，并且说它其实也可以看作是Q-learning with continuous actions的一个处理方法，就是learn an approximate maximizer，联系DDPG原文的阐述，这样看确实是有道理的！

下面的三行英文和公式就是DDPG原文的推导过程：

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The action-value function is used in many reinforcement learning algorithms. It describes the expected return after taking an action $a_t$ in state $s_t$ and thereafter following policy $\pi$:
$Q^\pi(s_t,a_t)=E_{r_{i\geq t} ,s_{i>t}\sim E,a_{i>t}\sim \pi}[R_t|s_t,a_t]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$
Many approaches in reinforcement learning make use of the recursive relationship known as the Bellman equation:
$Q^\pi(s_t,a_t)=E_{r_{t} ,s_{t+1}\sim E}[r(s_t,a_t)+\gamma E_{a_{t+1}\sim \pi}[Q^\pi(s_{t+1},a_{t+1})]]~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$
If the target policy is deterministic we can describe it as a function $\mu : S \gets A$ and avoid the inner expectation:
$Q^\pi(s_t,a_t)=E_{r_{t} ,s_{t+1}\sim E}[r(s_t,a_t)+\gamma Q^\pi(s_{t+1},\mu(s_{t+1}))]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$

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继续说DDPG，看完文章中(1)(2)(3)三个式子的推导，借着deterministic的名头，把原本对action的期望去掉了，正是由于这一招，DPG成功甩掉了on-policy的包袱（因为不需要sample from current policy来对action求期望了）。从此，谁要是说DPG是off-policy的，那么我也不敢反驳了。但是，说DPG是off-policy其实还是不严谨的。因为DPG只能算一个theorem，只能说从这个theorem出发的算法，不再像从PG theorme出发的算法那样必须戴上on-policy的枷锁。事实上，off-policy的算法也可以用on-policy的方式去训练，因为off-policy本来就对behaviour policy不做要求了，那么用current policy自然也可以。这样的例子，比如说Q-learning，如果你要用SARSA那样的方式去训练，那就成on-policy算法了。不得不感叹一句，off-policy真是自由的象征啊。再比如，下面的截图，来自于DPG原文，使用Sarsa updates，强行弄出一个On-Policy Deterministic Actor-Critic，作者说到on-policy的弊端是exploration不够，但是假如environments中的noise已经够多了，那么说不定on-policy也可以用（因为不需要再担心exploration不够的问题了）。

我当时看完DDPG用deterministic甩掉on-policy的包袱之后，一方面觉得推理顺畅，另一方面又在纳闷那么Q-learning呢？毕竟Q-learning也是在fit action-value function，那么Q-learning是怎么甩掉on-policy的包袱的呢？带着这样的问题，我又回看了CS294 fitted Q-iteration部分的PPT。我发现…fitted Q-iteration的推导也没毛病啊（笑哭）。感觉公说公有理婆说婆有理了。但是，后来我发现，其实仔细看，fitted Q-iteraion的算法过程中，它其实也会走到下面这一步：

$Q^\pi(s_t,a_t)=E_{r_{t} ,s_{t+1}\sim E}[r(s_t,a_t)+\gamma E_{a_{t+1}\sim \pi}[Q^\pi(s_{t+1},a_{t+1})]]~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$

不过，由于fitted Q-iteration的current policy使用的是greedy policy，而不是一个stochastic policy，所以对于$a_{t+1}$的期望也用不着求了。某种程度上，fitted Q-iteration其实也可以看作是一个特殊的DPG，它的actor是$argmax_a Q(s,a)$，可以看作是一个deterministic actor。当然咯，这其实只能在脑海中这么理解，实际去证明的话还是不好证明的（至少我是这么感觉的）。原因是因为，DPG其实应该用在continuous aciton的控制中，不然$\mu(s_{t+1})$就不好解释了，如果非要用到discret action中，可能需要一些trick。